Этап 4 "Треугольник Серпинского"
Ва́цлав Франци́ск Серпи́нский
- польский математик, известен трудами по теории множеств, аксиоме выбора, континуум-гипотезе, теории чисел, теории функций, а также топологии. Автор 724 статей и 50 книг.
Родился в семье врача Константина Серпинского.
В 1900 году поступил на физико-математический факультет Варшавского университета. В 1904 году после окончания университета, получив степень кандидата наук и золотую медаль за работу в области теории чисел, он был назначен преподавателем математики и физики в женской гимназии Варшавы.
С 1919 г. Серпинский — профессор Варшавского университета. Уже в следующем году он с профессорами С. Мазуркевичем и 3. Янишевскнм основал в Варшаве журнал «Fundamenta Mathematicae», который сыграл большую роль в развитии современной математики. Этот журнал продолжает выходить и в настоящее время.
В 1921 г. Серпинский был избран действительным членом Польской Академии наук. Необычайная творческая активность, выдающиеся педагогические, литературные и организационные способности Серпинского ставят его во главе польской математической школы. Университеты различных стран и континентов присваивают ему званне почетного профессора, степень доктора honoris causa. Ряд академий и научных обществ избирают его своим членом-корреспондентом и почетным членом. Имя Серпинского приобретает огромную популярность. В обиход математиков входят термины: «Универсальная кривая Серпинского», «Треугольная кривая Серпинского», «Ковер Серпинского» и др.
Вклад Серпинского в развитие математики:
Серпинский дал найденное им независимо от Кантора доказательство теоремы о том, что положение точки на плоскости может быть определено одним действительным числом, из чего уже легко следует эквивалентность множеств точек прямой и плоскости, и вообще пространств любого числа измерений.
Изучение обширного класса предложений, эквивалентных знаменитой континуум-гипотезе Кантора и так называемой аксиоме выбора теории множеств, и геометрических следствий этой аксиомы, носящих зачастую внешне парадоксальный характер.
В 1916 году в Москве Серпинский дал свой первый пример абсолютно нормального числа, то есть числа, в записи которого все цифры равновероятны, в какой бы системе счисления его ни записывать.
Он изучал кривую Серпинского – замкнутую кривую, которая проходит через каждую точку квадрата. Длина этой кривой бесконечна, но она ограничивает площадь 5/12 от всего квадрата. Серпинский продолжил совместно с Лузиным исследования аналитических и проективных множеств.
Его работы по функциям действительной переменной включают результаты по функциональным рядам, дифференцируемости функций и классификации Бэра.
Математические термины, которые носят имя Серпинского:
Имя Серпинского носят следующие математические объекты:
-
числа Серпинского
-
треугольник Серпинского
-
ковёр Серпинского
-
кривая Серпинского
-
пространство Серпинского.
Примеры реальных объектов, в орнаментах которых можно заметить фрактал "треугольник Серпинского":
-
В неживой природе:
-
Границы географических объектов (стран, областей, городов)
-
Морозные узоры на оконных стёклах
-
Треугольник Серпинского
Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, математическое описание которого опубликовал польский математик Вацлав Серпинский в 1915 году. Также известен как «салфетка» Серпинского.
Свойства:
-
Треугольник Серпинского состоит из 3 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/2.
-
Треугольник Серпинского замкнут.
-
Треугольник Серпинского имеет топологическую размерность 1.
-
Важным свойством треугольника Серпинского является его самоподобие — ведь он состоит из трёх своих копий, уменьшенных в два раза (это части треугольника Серпинского, содержащиеся в маленьких треугольниках, примыкающих к углам).
-
Треугольник Серпинского имеет промежуточную (то есть нецелую) Хаусдорфову размерность {\displaystyle =\ln 3/\ln 2\approx 1{,}585}. В частности,
-
треугольник Серпинского имеет нулевую меру Лебега.
-
Факты:
-
Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные — в белый, то образуется треугольник Серпинского.
-
Образования, похожие на треугольник Серпинского, возникают в игре Жизнь из длинной вертикальной линии[2].
-
Изображения треугольника Серпинского в 1919 году стали мотивом нескольких графических произведений Георгия Нарбута, в частности эта фигура использована им при оформлении нескольких выпусков журнала «Мистецтво» (1919—1920 гг.).
-
Вариации фигур на основе треугольника Серпинского использованы в интерьере синагоги Бен-Эзра, Каир, Египет
-
На основе треугольника Серпинского могут быть изготовлены многодиапазонные фрактальные антенны.
-
Четыре первых итерации фрактальных треугольников Серпинского использовались в орнаментах геометрической мозаики стиля косматеско в средневековых соборах Италии (начиная с XII века), арабских и персидских интерьерах.
Наш фрактал:
Природные объекты (квазифракталы) отличаются от идеальных абстрактных фракталов неполнотой и неточностью повторений структуры. Большинство встречающихся в природе фракталоподобных структур (линия берега, деревья, листья растений, кораллы, …) являются квазифракталами, поскольку на некотором малом масштабе фрактальная структура исчезает. Природные структуры не могут быть идеальными фракталами из-за ограничений, накладываемых размерами живой клетки и, в конечном итоге, размерами молекул.
-
В живой природе:
-
Кроны деревьев и листья растений
-
Плоды (ананас)
-
Система кровообращения и бронхи людей и животных